Wachstum von Logarithmen

Wachsen alle Logarithmen gleich schnell?

Wir betrachten zunächst:

$${\log }_3(n^4)=4\cdot {\log }_3(n)=4\cdot \frac{\ln (n)}{\ln (3)}=\frac{4}{\ln (3)}\cdot \ln (n)$$

Die Konstante $\frac{4}{\ln (3)}$ ist konstant, daher gilt:

$${\log }_3(n^4)=\Theta (\ln (n))$$

→ Logarithmen mit unterschiedlichen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor.

Achtung Exponenten

Beispiele:

\log_7(n^8) = 8 \cdot \log_7(n) = \Theta(\log(n))

2. $$ \log_3(n^{\sqrt{n}}) = \sqrt{n} \cdot \log_3(n) = \Theta(\sqrt{n} \cdot \log(n))

Hier multipliziert sich der Logarithmus mit einem nicht-konstanten Faktor ($\sqrt{n}$).
Daher gilt: kein konstanter Faktor!