07 How-To's (Algebra)

Untergruppen

• Die Untergruppen erben die Operationen von der parent Gruppe

Liste Untergruppen

Liste alle Untergruppen von $⟨{\mathbb{Z}}_{14},{\oplus }_{14}⟩$.

1. ${\mathbb{Z}}_{14}$ hat 14 Elemente (0–13)
2. Langrange: Ordnung der Untergruppe teilt die Gruppenordnung
3. 14 wird geteilt durch 1, 2, 7, 14
4. 2 Möglichkeiten
   1. Option A: wir rechnen für jeden dieser Teiler $a$, $\frac{14}{a}$ und bekommen somit 4 Generatoren für die 4 Untergruppen, müssen die nur mehr notieren. Also $⟨14⟩=$ {0}, $⟨7⟩=$ {0,7}, $⟨2⟩=$ {0,2,4,6,8,10,12}, $⟨1⟩={\mathbb{Z}}_{14}$. Achtung modulo.
   2. Option B: Die trivialen Untermengen sind {e}, also hier {0}, und die Gruppe selbst, also ${\mathbb{Z}}_{14}$. Es fehlen noch zwei Gruppen, per Lagrange, einmal mit 2 Elementen, einmal mit 7. Neutr. Element 0 muss immer Teil sein, dann anschauen, z.B. nur gerade Zahlen, Teiler 7, etc.

Anzahl Untergruppen

Wie viele Untergruppen hat $⟨{\mathbb{Z}}_4,{\oplus }_4⟩$?

• Wenn Zyklisch (schneller)
  1. Gibt so viele Untergruppen, wie Teiler der Gruppenordnung
  2. Teiler von 4 sind 1,2,4, gibt also 3 Untergruppen
• Manuell (Lagrange)
  1. Lagrange: Ordnung der Untergruppe teilt die Gruppenordnung.
  2. Gruppenordnung ist 4, also Ordnung von Untergruppen 1, 2, oder 4
     1. Ordnung 1: {0} (trivial)
     2. Ordnung 2: siehe 2+2=0, also {0,2} (jede Gruppe muss das neutrale Element enthalten, abgeschlossen)
     3. Ordnung 4: {0,1,2,3} (trivial)
  3. Inverse muss auch in der Untergruppe sein, also z.B. {2}

Polynome

Liste Nullteiler

Liste alle Nullteiler von $R=\text{GF}(3)[x{]}_{x^2+2x}$:

1. m(x) Faktorisieren: $m(x)=x\cdot (x+2)$
2. Vielfache bilden: Da $m(x)$ Grad 2 hat, suchen wir nur Nullteiler mit Grad 1. Wir multiplizieren also nur mit Konstanten, nicht mit $x$, da wir sonst den Grad 2 überschreiten würden.
   • ausgehend von $x$:
     1. $1\cdot x=\mathbf{x}$
     2. $2\cdot x=2x$
   • ausgehend von $(x+2)$:
     1. $1\cdot (x+2)=\mathbf{x}+2$
     2. $2\cdot (x+2)=2x+4\stackrel{\text{mod }3}{\to }2x+1$
3. Also, unsere Nullteiler sind $\{x,2x,x+2,2x+1\}$

Elemente von A

Determine all elements of $\text{GF}(3)[x{]}_{x^2+2}$

1. Grad muss $\le$ 1 sein, da kleiner als $x^2$, Koeffizienten müssen sein 0,1,2, da ${\mathbb{Z}}_3$
2. Grad muss also $-\infty$, 0 oder 1 sein.
3. Alle Kombinationen, auf modulo achten: 0, 1, 2, x, 2x, x+1, x+2, 2x+1, 2x+2

Elemente von A*

Determine all elements of $\text{GF}(3)[x{]}_{x^2+2}^{\ast }$

• Erst mal nur A berechnen, so wie oben. Wir bekommen 0, 1, 2, x, 2x, 2x+1, 2x+2
• A* bedeutet teilerfremd, also zerlegen wir $m(x)=x^2+2$ in $(x+2)(x+1)$, und streichen alle Vielfache der Faktoren davon aus der Liste oben (achtung modulo). 0 ist nie Teil von A*. Übrig bleiben die teilerfremden Elemente (keine gemeinsamen Faktoren). Auf modulo achten!
• Wir bekommen 1, 2, x, 2x

Inverse berechnen

Berechne die Inverse von $x+4$ in $R^{\ast }={\mathbb{Z}}_5[x{]}_{x^2+1}^{\ast }$.

1. Wir suchen ein Polynom in der Form $(ax+b)$, sodass $(x+4)(ax+b)=1$
2. $(x+4)(ax+b)=a{x}^2+bx+4ax+4b=a{x}^2+(4a+b)x+4b$
3. Wir müssen das $x^2$ wegbringen. In dem Ring gilt $x^2+1=0$. Ginge mit Polynomdivision, aber einfacher $a\cdot (x^2+1)$ abziehen: \begin{align} [ax^2 + (4a+b)x + 4b] - [ax^2 + a] \\ = \underbrace{(ax^2 - ax^2)}_{0} + (4a+b)x + (4b - a) \\ =(4a+b)x + (4b-a) \end{align}
4. $(4a+b)x+(4b-a)$ soll ja 1 ergeben, also $0x+1$ also muss gelten $4a+b=0$ und $4b-a=1$. Das Gleichungssystem kann man ja einfach lösen (Achtung modulo, negative Zahlen also immer umdrehen)
5. Lösung: $2x+2$