01 Operatoren

• $A\to B$ und $A\leftrightarrow B$:

  • Diese Symbole werden zwischen Formeln verwendet und sind selbst Formeln.
  • $A\to B$: „Wenn $A$, dann $B$“ (materiale Implikation).
  • $A\leftrightarrow B$: „$A$ genau dann, wenn $B$“

• $A\Rightarrow B$ und $A\iff B$:

  • Diese Symbole werden zwischen Aussagen verwendet und sind selbst Aussagen (wahr oder falsch).
  • $A\Rightarrow B$: „Wenn $A$ wahr ist, dann muss $B$ wahr sein“ (logische Implikation).
    • 4 ist eine Primzahl $\Rightarrow$ 3 ist eine Primzahl ist eine wahre Aussage
    • Nur falsch, wenn A richtig und B falsch
  • $A\iff B$: „$A$ ist wahr genau dann, wenn $B$ wahr ist“ (logische Äquivalenz).

• $A\models B$:

  • immer, wenn $A$ wahr ist, ist auch $B$ wahr
  • logische Konsequenz, $A\to B$ ist allgemein gültig (für alle $A$ und $B$)
  • Wird zwischen Formeln verwendet, ist aber selbst eine Aussage.

• $\models A$:

  • $A$ ist allgemein gültig (eine Tautologie, gilt in allen Modellen).

• $\top$:

  • Symbol für immer wahr (Tautologie, allgemeingültig).

• $\perp$:

  • Symbol für immer falsch (Kontradiktion, Widerspruch).

• $A\equiv B$:

  • Wird zwischen Formeln verwendet und besagt, dass sie logisch äquivalent sind, also immer denselben Wahrheitswert haben.
  • Dies ist eine Aussage.