Dictionary

Diskrete Mathematik

Logik & Beweissysteme

Begriff	Bedeutung
Beweissystem ($\Pi$)	Tupel aus Aussagen, Beweisen, Wahrheitsfunktion und Verifikation
$\mathcal{S}$ (Statements)	Menge der Aussagen
$\mathcal{P}$ (Proofs)	Menge der Beweise
$\tau$ (Truth function)	Funktion, die Wahrheitswert (0/1) einer Aussage definiert
$\varphi$ (Verification)	Funktion, die prüft, ob ein Beweis gültig ist
Sound (korrekt)	Kein Beweis für falsche Aussagen möglich
Complete (vollständig)	Für jede wahre Aussage existiert ein Beweis
Alphabet ($\Lambda$)	Menge der erlaubten Symbole
Interpretation	Zuweisung von Werten zu freien Elementen
Modell	Eine wahre Interpretation
Logische Konsequenz ($\models$)	G folgt aus F
Logische Äquivalenz ($\equiv$)	F und G haben in jeder Interpretation denselben Wahrheitswert
Erfüllbar (satisfiable)	Mindestens eine wahrmachende Interpretation existiert
Tautologie	In jeder Interpretation wahr
Unerfüllbar	In keiner Interpretation wahr

Prädikatenlogik & Quantoren

Begriff	Bedeutung
Existenzquantor ($\exists$)	“Es existiert mindestens ein…”
Allquantor ($\forall$)	“Für alle…”
Scope (Geltungsbereich)	Bereich, in dem ein Quantor wirkt

Mengen

Begriff	Bedeutung
Element von ($\in$)	x ist in Menge A enthalten
Teilmenge ($\subseteq$)	Alle Elemente von A sind auch in B
Echte Teilmenge ($\subset$)	Teilmenge, aber nicht gleich
Tupel	Geordnete Menge (Reihenfolge wichtig)
Potenzmenge ($\mathcal{P}(A)$)	Menge aller Teilmengen von A
Kardinalität ($\Vert A\Vert$)	Anzahl der Elemente einer Menge
Kartesisches Produkt ($A\times B$)	Menge aller Paare (a,b) mit $a\in A$, $b\in B$
Leere Menge ($\varnothing$)	Menge ohne Elemente
Russells Paradox	Widerspruch bei selbstreferenziellen Mengen

Relationen

Begriff	Bedeutung
Relation ($\rho$)	Teilmenge von $A\times B$
Identitätsrelation ($i{d}_A$)	Jedes Element steht nur zu sich selbst in Relation
Inverse Relation ($\hat{\rho }$)	Richtung der Paare vertauscht
Komposition ($\rho \circ \sigma$)	Verkettung von Relationen über Zwischenelement
Reflexiv	Jedes Element steht zu sich selbst in Relation
Irreflexiv	Kein Element steht zu sich selbst in Relation
Symmetrisch	Wenn $a\rho b$, dann $b\rho a$
Antisymmetrisch	Beide Richtungen nur bei Gleichheit
Transitiv	Wenn $a\rho b$ und $b\rho c$, dann $a\rho c$
Kongruenz modulo m (${\equiv }_m$)	Gleicher Rest bei Division durch m

Spezielle Relationen

Begriff	Bedeutung
Äquivalenzrelation	Reflexiv, symmetrisch, transitiv
Äquivalenzklasse ($[a{]}_{\Theta }$)	Menge aller Elemente, die zu a äquivalent sind
Partition	Zerlegung einer Menge in disjunkte Teilmengen
Quotientenmenge ($A/\theta$)	Menge aller Äquivalenzklassen
Ordnungsrelation	Reflexiv, antisymmetrisch, transitiv

Posets & Hasse-Diagramme

Begriff	Bedeutung
Poset	Partially ordered set (Menge mit Ordnungsrelation)
Lexikographische Ordnung	Vergleich wie im Wörterbuch
Deckung (covers)	b deckt a, wenn nichts zwischen a und b liegt
Vergleichbar	a ≼ b oder b ≼ a
Totalgeordnet	Alle Elemente sind vergleichbar
Well-ordered	Totalgeordnet und jede Teilmenge hat kleinstes Element
Kleinstes Element	Element ist related zu allen anderen
Größtes Element	Alle Elemente sind related zu diesem
Minimales Element	Kein Element zeigt auf dieses
Maximales Element	Zeigt auf kein anderes Element
Transitive Closure (${\rho }^{\ast }$)	Alle erreichbaren Verbindungen über beliebig viele Schritte
Meet	Eindeutiger gemeinsamer lower bound zweier Elemente
Join	Eindeutiger gemeinsamer upper bound zweier Elemente
Lattice (Verband)	Alle Paare haben Meet und Join

Zählbarkeit

Begriff	Bedeutung
Abzählbar (countable)	Gleichmächtig zu $\mathbb{N}$
Überabzählbar (uncountable)	Nicht abzählbar (z.B. $\mathbb{R}$)
Equinumerous ($\sim$)	Gleichmächtig, es existiert eine Bijektion
Dominiert ($⪯$)	Es existiert eine Injektion von A nach B
Bijektion	Injektiv und surjektiv
Injektion	Verschiedene Elemente haben verschiedene Bilder
Surjektion	Jedes Element im Zielbereich wird getroffen

Beweisstrategien

Begriff	Bedeutung
Direkter Beweis	Nimm S an, zeige T
Indirekter Beweis (Kontraposition)	Nimm ¬T an, zeige ¬S
Beweis durch Widerspruch	Nimm ¬S an, leite Widerspruch ab
Fallunterscheidung	Teile in Fälle auf, beweise jeden einzeln
Modus Ponens	Aus F und (F → G) folgt G
Existenzbeweis	Finde ein konkretes Beispiel
Pigeonhole Principle	n Objekte auf k Gruppen → mindestens eine Gruppe hat $\lceil n/k\rceil$

Algebra – Grundlagen

Begriff	Bedeutung
Algebra	Menge G mit Operation $\ast$, unter dieser abgeschlossen
Abgeschlossen / Closed	Operation bleibt innerhalb der Menge
Assoziativ / Associative	$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$
Kommutativ / Commutative	$a\ast b=b\ast a$
Neutrales Element / Identity element	$a\ast e=e\ast a=a$
Inverses Element / Inverse	$a\ast \hat{a}=e$
Monoid	Algebra + assoziativ + neutrales Element
Gruppe / Group	Monoid + inverses Element für jedes $a$
Abelsche Gruppe / Abelian group	Gruppe + Kommutativität

Algebra – Ordnung

Begriff	Bedeutung
Ordnung einer Gruppe / Order of a group	Anzahl Elemente in der Gruppe $\Vert G\Vert$
Ordnung eines Elementes / Order of an element	Kleinstes $n$ mit $a^n=e$
Satz von Lagrange	$\Vert H\Vert$ teilt $\Vert G\Vert$ für Untergruppe $H$

Algebra – Untergruppen und Strukturen

Begriff	Bedeutung
Untergruppe / Subgroup	Teilmenge, abgeschlossen unter Operation, mit $e$ und Inversen
Zyklische Gruppe / Cyclic group	Alle Elemente entstehen aus einem Generator
Generator	Element das alle Gruppenelemente erzeugt
Direct Product	Neue Gruppe aus Tupeln mehrerer Gruppen

Algebra – Homomorphismen

Begriff	Bedeutung
Homomorphismus / Homomorphism	$\psi (a\circ b)=\psi (a)\ast \psi (b)$
Isomorphismus / Isomorphism	Bijektiver Homomorphismus
Injektiv / Injective	$\psi (a)=\psi (b)\Rightarrow a=b$
Surjektiv / Surjective	Jedes Element im Bild wird getroffen
Bijektion / Bijection	Injektiv und surjektiv

Algebra – Ringe und Körper

Begriff	Bedeutung
Ring	Menge mit Addition (Gruppe) und Multiplikation (Monoid)
Körper / Field	Ring, alle $\ne 0$ haben multiplikatives Inverses
Distributivgesetz	$a(b+c)=ab+ac$
Nullteiler / Zero divisor	$a\ne 0$, $b\ne 0$, aber $ab=0$
Integritätsbereich / Integral domain	Ring ohne Nullteiler
Einheit / Unit	Element mit multiplikativem Inversen ($a\cdot b=1$)
$R^{\ast }$	Menge aller Einheiten (invertierbaren Elemente)
GF(p) / Galois Field	${\mathbb{Z}}_p$ für Primzahl $p$

Algebra – Polynome

Begriff	Bedeutung
Polynom / Polynomial	Ausdruck $a_n{x}^n+...+a_0$
$F[x]$	Polynomring über Körper F
Grad / Degree	Höchste Potenz im Polynom
Monisch / Monic	Führender Koeffizient = 1
Irreduzibel / Irreducible	Keine nicht-trivialen Faktoren
Reduzibel / Reducible	Hat Nullstelle, also faktorisierbar
Polynomdivision	$a(x)=b(x)\cdot q(x)+r(x)$
Nullstelle / Root	Wert $\alpha$ mit $p(\alpha )=0$
$F[x{]}_{m(x)}$	Polynome modulo $m(x)$, Körper wenn $m(x)$ irreduzibel

Zahlentheorie

Begriff	Bedeutung
Teilbarkeit / Divisibility	$d\mid a\iff \exists q:a=dq$
gcd / ggT	Größter gemeinsamer Teiler
lcm / kgV	Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Teilerfremd / Coprime	$\gcd (a,b)=1$
Ideal	Menge $\{ua+vb:u,v\in \mathbb{Z}\}$
Primfaktorzerlegung	$a=\prod p_i^{e_i}$
Äquivalenz modulo	$a{\equiv }_{m}b\iff m\mid (a-b)$
Restklasse / Residue class	$[a{]}_m=\{b:a{\equiv }_{m}b\}$
Multiplikatives Inverses	$a\cdot a^{-1}{\equiv }_{m}1$

Euler und Fermat

Begriff	Bedeutung
Eulersche Phi-Funktion $\phi (m)$	Anzahl teilerfremder Zahlen zu $m$
${\mathbb{Z}}_m^{\ast }$	Menge der zu $m$ teilerfremden Elemente
Satz von Euler	$a^{\phi (m)}{\equiv }_{m}1$ für $\gcd (a,m)=1$
Satz von Fermat	$a^{p-1}{\equiv }_{p}1$ für Primzahl $p$

Kryptographie

Begriff	Bedeutung
Diffie-Hellman	Schlüsselaustausch mit $g^{x_A}$, $g^{x_B}$ mod $p$
RSA	Public-Key-Verfahren mit $n=p\cdot q$
Diskreter Logarithmus	Aus $g^x$ schwer $x$ zu berechnen
Public Key	Öffentlicher Schlüssel
Private Key	Geheimer Schlüssel

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Algorithmen und Datenstrukturen

Datenstrukturen – Grundlegend

Begriff	Bedeutung
Array	Feste Größe, O(1) Zugriff, O(n) Einfügen/Löschen
1-verkettete Liste	Einfach verkettete Liste, O(1) Einfügen, O(n) Zugriff
2-verkettete Liste	Doppelt verkettete Liste, O(1) Einfügen/Löschen
Stack	Last In First Out (push, pop)
Queue	First In First Out (enqueue, dequeue)
Priority Queue	Min/Max-Heap, O(log n) für Insert/ExtractMin

Datenstrukturen – Bäume

Begriff	Bedeutung
Heap	Binärbaum mit O(log n) Einfügen/Löschen, O(1) Max-Zugriff
Binärer Suchbaum	Sortierter Baum mit O(log n) Operationen
2-3-Baum	Balancierter Baum mit garantiert O(log n)
Heapify	Array in Heap umwandeln, O(n)
ExtractMax	Maximum aus Heap entfernen und versickern

Sortieralgorithmen

Begriff	Bedeutung
Bubble Sort	Benachbarte Elemente tauschen, O(n²)
Selection Sort	Größtes Element ans Ende, O(n²)
Insertion Sort	Element an richtige Stelle im sortierten Teil, O(n²)
Merge Sort	Divide & Conquer, rekursiv teilen und mergen, O(n log n)
Quicksort	Pivotelement wählen, partitionieren, in-place, O(n log n) avg
Heapsort	Selection Sort mit Max-Heap, O(n log n)
Bucket Sort	Elemente in Buckets verteilen, O(n)
Pivotelement	Element zum Partitionieren bei Quicksort

Suchalgorithmen

Begriff	Bedeutung
Linear Search	Jedes Element durchgehen, O(n)
Binary Search	Liste halbieren bei sortiertem Array, O(log n)
Entscheidungsbaum	Binärbaum für Vergleiche, Blätter sind Ergebnisse
Star-Suche	Person finden, die alle kennen aber niemanden kennt

Graphentheorie – Grundbegriffe

Begriff	Bedeutung
Vertex (Knoten)	Punkt im Graphen
Edge (Kante)	Verbindung zwischen zwei Knoten
Grad	Anzahl anliegender Kanten eines Knotens
Weg (Walk)	Folge benachbarter Knoten
Pfad (Path)	Weg ohne wiederholte Knoten
Zyklus	Weg mit Start = Ende
Kreis (Cycle)	Zyklus ohne Knotenwiederholung, min. 3 Knoten
Eulerweg	Jede Kante genau einmal
Hamiltonpfad	Jeder Knoten genau einmal
adjazent	Benachbarte Knoten
inzident	Kante anliegend zu einem Knoten
Zusammenhangskomponente	Verbundener Teilgraph
Baum (Tree)	Zusammenhängend ohne Kreis
bipartit	Graph in zwei Partitionen teilbar
cut vertex	Knoten dessen Entfernung Graph trennt
cut edge	Kante deren Entfernung Graph trennt

Graphentheorie – Gerichtete Graphen

Begriff	Bedeutung
Gerichteter Graph	Graph mit geordneten Knotenpaaren
Senke	Knoten ohne Nachfolger, deg_out = 0
Quelle	Knoten ohne Vorgänger, deg_in = 0
Eingangsgrad	Anzahl eingehender Kanten
Ausgangsgrad	Anzahl ausgehender Kanten
Adjazenzmatrix	Matrix zur Darstellung von Kanten
Adjazenzliste	Liste aller Nachfolger pro Knoten
Topologische Sortierung	Reihenfolge mit erfüllten Abhängigkeiten

Graph-Algorithmen – Traversierung

Begriff	Bedeutung
BFS (Breitensuche)	Ebenenweise traversieren mit Queue, O(V+E)
DFS (Tiefensuche)	So weit wie möglich vorlaufen mit Stack, O(V+E)
Breitensuchbaum	Erfasst minimale Distanzen zu Knoten
Pre-order	Reihenfolge des ersten Betretens
Post-order	Reihenfolge des letzten Verlassens
Tree edge	Kante im Tiefensuchbaum
Forward edge	Kante zu indirektem Nachfolger
Back edge	Kante zu indirektem Vorgänger (→ Zyklus)
Cross edge	Kante zwischen verschiedenen DFS-Teilbäumen

Graph-Algorithmen – Kürzeste Wege

Begriff	Bedeutung
Dijkstra	Kürzester Weg mit pos. Gewichten, O((V+E) log n)
Bellman-Ford	Kürzester Weg auch mit neg. Gewichten, O(V·E)
Negativer Zyklus	Zyklus mit negativer Gesamtgewichtssumme

Laufzeitanalyse

Begriff	Bedeutung
O-Notation (Big-O)	Obere Schranke für Wachstum
Ω-Notation (Omega)	Untere Schranke für Wachstum
Θ-Notation (Theta)	Exakte Wachstumsordnung
Master Theorem	Laufzeit für T(n) = aT(n/b) + Cn^d bestimmen
a (Master Theorem)	Anzahl der Teilprobleme
b (Master Theorem)	Verkleinerungsfaktor
d (Master Theorem)	Arbeit außerhalb der Rekursion

Dynamische Programmierung

Begriff	Bedeutung
Dynamische Programmierung	Optimierung durch Teilprobleme und Memoization
Memoization	Zwischenspeichern bereits berechneter Werte
Bottom-up	Iterativ von kleinen zu großen Teilproblemen
DP-Tabelle	Tabelle zur Speicherung der Teilproblem-Lösungen
Teilproblem	Kleinere Instanz des Gesamtproblems
Rekursionsformel	Berechnung aus vorherigen Einträgen
Editierdistanz	Min. Operationen um String A in B umzuwandeln
LGT (Längste gemeinsame Teilfolge)	Längste gemeinsame Subsequenz zweier Folgen
Teilsummenproblem	Gibt es Teilmenge mit bestimmter Summe?
Rucksackproblem	Maximaler Wert bei begrenzter Kapazität
Maximum Subarray Sum	Größte Summe eines zusammenhängenden Teilarrays

Algorithmen-Konzepte

Begriff	Bedeutung
Invariante	Aussage die nach jeder Iteration gilt
Divide and Conquer	Teilen, rekursiv lösen, kombinieren
In-place	Kein zusätzlicher Speicher nötig
Vergleichsbasiertes Suchen	Min. Ω(log n) Vergleiche im Worst Case
Vergleichsbasiertes Sortieren	Min. Ω(n log n) Vergleiche im Worst Case

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Einführung in die Programmierung

Hoare-Logik

Begriff	Bedeutung
Hoare-Tripel ({P} X = E {Q})	Vorbedingung, Anweisung, Nachbedingung
Weakest Precondition	Schwächste Vorbedingung, die Nachbedingung garantiert
Loop Invariante	Bedingung, die vor/nach jeder Schleifeniteration gilt

Klassen & Objekte

Begriff	Bedeutung
Klasse (class)	Bauplan für Objekte
Objekt (object)	Instanz einer Klasse, erstellt mit new
Attribut	Variable in Klasse, beschreibt Zustand
Methode	Funktion in Klasse, beschreibt Verhalten
Zustand (state)	Menge aller Attributwerte eines Objekts
Referenz	Zeiger auf ein Objekt im Speicher
Punktnotation (dot notation)	Zugriff auf Attribute/Methoden via objekt.name
Dereferenzierung	Zugriff auf Objekt über Referenz
this	Referenz auf das aktuelle Objekt
Shadowing	Lokale Variable verdeckt gleichnamiges Attribut
Konstruktor	Spezielle Methode zur Objektinitialisierung
toString()	Methode zur String-Darstellung eines Objekts

Vererbung & Polymorphismus

Begriff	Bedeutung
Vererbung (extends)	Unterklasse übernimmt Attribute/Methoden der Oberklasse
Oberklasse (Superclass)	Klasse, von der geerbt wird
Unterklasse (Subclass)	Klasse, die erbt
Override (@Override)	Methode der Oberklasse in Unterklasse überschreiben
super	Referenz auf direkte Oberklasse
instanceof	Prüft ob Objekt Instanz einer Klasse ist
statischer Typ	Deklarierter Typ, unveränderlich
dynamischer Typ	Tatsächlicher Typ zur Laufzeit, änderbar
Dynamic Binding	Methodenauswahl basierend auf dynamischem Typ
Cast	Typumwandlung “nach unten” im Vererbungsbaum
Object	Wurzelklasse aller Java-Klassen
final (Klasse)	Verbietet Vererbung (kein extends)
final (Methode)	Verbietet Override
final (Variable)	Wert/Referenz unveränderbar
Abstrakte Klasse	Klasse die nicht instanziiert werden kann

Interfaces

Begriff	Bedeutung
Interface	Vertrag, dass Klasse bestimmte Methoden implementiert
implements	Klasse implementiert ein Interface
extends (Interface)	Interface erweitert anderes Interface

Sichtbarkeit (Access Modifiers)

Begriff	Bedeutung
public	Überall sichtbar
protected	In Klasse, Unterklassen und Package sichtbar
default (package-private)	Nur im selben Package sichtbar
private	Nur in eigener Klasse sichtbar

Datentypen – Primitiv

Begriff	Bedeutung
Primitive Typen	Speichern direkt den Wert (int, double, boolean, char)
int	Ganzzahl (primitiv)
double	Kommazahl (primitiv)
boolean	Wahrheitswert true/false (primitiv)
char	Einzelnes Zeichen (primitiv)
Value Semantics	Zuweisung kopiert den Wert (primitive Typen)

Datentypen – Referenz

Begriff	Bedeutung
Referenztypen	Speichern Referenz auf Objekt (String, Arrays, Klassen)
String	Text (Referenztyp, immutable)
Integer	Wrapper-Klasse für int, kann null sein
Autoboxing	Automatische Umwandlung primitiv → Wrapper
Unboxing	Automatische Umwandlung Wrapper → primitiv
null	Keine Referenz, Standardwert für Referenztypen
Reference Semantics	Zuweisung kopiert die Referenz (Referenztypen)
immutable	Unveränderbar (z.B. String)
Aliasing	Mehrere Referenzen zeigen auf dasselbe Objekt

Casting & Konvertierung

Begriff	Bedeutung
Implizites Casting (Widening)	Automatische Typumwandlung zu größerem Typ
Explizites Casting (Narrowing)	Manuelle Typumwandlung zu kleinerem Typ

Methoden & Funktionen

Begriff	Bedeutung
void	Kein Rückgabewert
return	Gibt Wert aus Methode zurück
Parameter	Eingabewerte einer Methode
Überladung (Overloading)	Mehrere Methoden mit gleichem Namen, unterschiedlicher Signatur
Signatur	Name + Parametertypen einer Methode
static	Gehört zur Klasse, nicht zum Objekt

Exceptions

Begriff	Bedeutung
Exception	Laufzeitfehler/Ausnahme
throw	Exception werfen
NullPointerException	Fehler bei Zugriff auf null-Referenz
IllegalArgumentException	Fehler bei ungültigen Argumenten

Kontrollstrukturen

Begriff	Bedeutung
if-else	Bedingte Verzweigung
switch-case	Mehrfachverzweigung
for-Schleife	Zählschleife
while-Schleife	Kopfgesteuerte Schleife
do-while-Schleife	Fußgesteuerte Schleife
Enhanced for	Iteriert über Arrays/Collections
break	Schleife abbrechen
continue	Aktuellen Durchlauf überspringen

Logische Operatoren

Begriff	Bedeutung
&&	Logisches UND (AND)
||	Logisches ODER (OR)
!	Logisches NICHT (NOT)
==	Gleichheit (nur für primitive Typen)
equals()	Gleichheit für Objekte

Arrays & Collections

Begriff	Bedeutung
Array	Feste Sammlung von Werten gleichen Typs
Scanner	Klasse zum Einlesen von Eingaben
Random	Klasse für Zufallszahlen

Rekursion

Begriff	Bedeutung
Rekursion	Methode ruft sich selbst auf
Basisfall	Abbruchbedingung der Rekursion
Rekursiver Fall	Selbstaufruf mit verkleinertem Problem

Sonstiges

Begriff	Bedeutung
EBNF	Erweiterte Backus-Naur-Form, Grammatiknotation
UpperCamelCase	Namenskonvention für Klassen
lowerCamelCase	Namenskonvention für Methoden/Variablen

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Lineare Algebra

Matrizen – Grundlagen

Begriff	Bedeutung
Matrix $m\times n$	Hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten
Identitätsmatrix $I$	Diagonale = 1, sonst 0; $A\cdot I=A$
Diagonalmatrix	Nur Hauptdiagonale ≠ 0
Obere Dreiecksmatrix	Einträge unter Diagonale = 0
Untere Dreiecksmatrix	Einträge über Diagonale = 0
Symmetrische Matrix	$A=A^T$
Transponierte $(A^T)$	Zeilen und Spalten vertauscht
Inverse Matrix $(A^{-1})$	$A\cdot A^{-1}=I$, nur bei quadratisch & vollem Rang

Räume (Spaces)

Begriff	Bedeutung
Vektorraum	Menge von Vektoren, abgeschlossen unter Addition & Skalierung
Unterraum (Subspace)	Teilmenge eines Vektorraums, selbst ein Vektorraum
Spaltenraum $C(A)$	Span der Spalten von $A$; alle erreichbaren $Ax$
Zeilenraum $R(A)$	Span der Zeilen von $A$
Nullraum $N(A)$	Lösungen von $Ax=0$
Span	Alle Linearkombinationen einer Vektormenge
Basis	Linear unabhängige Vektoren, die Raum aufspannen
Dimension	Anzahl der Basisvektoren

Lineare Unabhängigkeit & Rang

Begriff	Bedeutung
Linear unabhängig	Keine Linearkombination ergibt 0 (außer triviale)
Linear abhängig	Ein Vektor ist Kombination der anderen
Rang (Rank)	Anzahl linear unabhängiger Spalten/Zeilen
Rang-Nullitätssatz	$\text{Rang}(A)+\text{Nullita¨t}(A)=n$ (Spaltenanzahl)
Steinitz-Austauschlemma	Unabh. Menge ≤ Spannende Menge; Basen gleich groß

Transformationen

Begriff	Bedeutung
Lineare Transformation $T_A$	$T_A(x)=Ax$; respektiert Addition & Skalierung
Injektiv	Verschiedene Inputs → verschiedene Outputs
Surjektiv	Jeder Output hat einen Input
Bijektiv	Injektiv + Surjektiv; invertierbar

Operationen auf LGS

Begriff	Bedeutung
Zeilenvertauschung	Zwei Zeilen tauschen
Skalierung	Zeile mit Konstante ≠ 0 multiplizieren
Zeilenaddition	Vielfaches einer Zeile zu anderer addieren
Gauss-Elimination	Umformung in Zeilenstufenform
Zeilenstufenform	Obere Dreiecksform durch Elimination

Orthogonalität

Begriff	Bedeutung
Orthogonal ($\perp$)	Skalarprodukt = 0
Orthogonales Komplement $V^{\perp }$	Alle Vektoren senkrecht zu $V$
$N(A)=C(A^T{)}^{\perp }$	Nullraum ist orthogonal zum Zeilenraum
Skalarprodukt (Dot Product)	$a\cdot b=\sum a_i{b}_i$

Projektionen

Begriff	Bedeutung
Projektion ${\text{proj}}_S(b)$	Nächster Punkt in $S$ zu $b$
Projektionsmatrix $P$	$P=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T$
Residuum $r$	$r=b-{\text{proj}}_S(b)$; Fehlervektor

Least Squares & Regression

Begriff	Bedeutung
Least Squares	Minimiert $\Vert Ax-b{\Vert }^2$
Normal Equations	$A^{T}A\hat{x}=A^{T}b$
Pseudoinverse $A^{†}$	$(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T$; löst Least Squares
Lineare Regression	Beste Gerade durch Datenpunkte finden

Sonstiges

Begriff	Bedeutung
Kreuzprodukt	Liefert Vektor senkrecht zu zwei gegebenen
Norm $\Vert v\Vert$	Länge eines Vektors
Linearkombination	Summe von skalierten Vektoren