02 Eigenvector, Eigenvalue

→ siehe 06 Komplexe Zahlen

Quick

Eigenwerte berechnen:

• Nullstellen von $\det (A-\lambda I)$
• Der Eigenwert von $A$ und $A^{\top }$ sind gleich.
• Diagonalmatrix oder Dreiecksmatrix: Einträge auf Diagonale sind Eigenwerte
• ähnliche Matizen ($B=S^{-1}\cdot A\cdot S$) haben die selben Eigenwerte

Eigenvektoren bestimmen:

• für jeden Eigenwert $\lambda$, berechne Basis für $N(A-\lambda I)$
• also berechne $A-\lambda I$ und dann $(A-\lambda I)\cdot x=0$ mit z.B. Gauss
• Bei Diagonalmatrizen sind die Standardbasisvektoren die Eigenvektoren

Vorstellung

• Vorstellung Determinante: Flächeninhalt

• Hier: Wie ändern Matrizen einen Vektor?

• der Eigenvektor einer Matrix ist der Vektor, der seine Richung nach der Transformation nicht ändert und

• der Eigenwert gibt an, wie sehr der Eigenvektor skaliert wird unter der Transformation

Daher:

In $Av=\lambda v$:

• A ist die Matrix der Transformation
• v ist der Eigenvektor
• $\lambda$ ist der Eigenvalue

Diagonalmatrix: Eigenwerte sind auf der Diagonalen

Also

$Av=\lambda v$ sagt, dass A angewendet auf v das gleiche ergibt, als v by $\lambda$ zu skalieren.

Berechnen

$Av=\lambda v$ $⟺Av-\lambda v=0$ $⟺(A-\lambda I)v=0$ $⟺(A-\lambda I)v=0$ hat eine nicht triviale Lösung $⟺(A-\lambda I)$ ist nicht invertierbar $⟺\det (A-\lambda I)=0$

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Beispiele, Eigenwerte

Beispiel 1

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 0\end{array}\right]$ $\det (A-\lambda I)=\det \left(\left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 3\\ 1& -\lambda \end{array}\right]\right)={\lambda }^2-2\lambda -3=0$ ${\lambda }^2-2\lambda -3=(\lambda -3)(\lambda +1)=0$

Eigenwerte:

• ${\lambda }_1=3$
• ${\lambda }_2=-1$

Beispiel 2

→ siehe 06 Komplexe Zahlen $A=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$ $\det (A-\lambda I)=\det \left(\left[\begin{array}{cc}1-\lambda & -1\\ 1& 1-\lambda \end{array}\right]\right)={\lambda }^2-2\lambda +2=0$ ${\lambda }_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{-4}}{2}=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm i$ Eigenwerte

• ${\lambda }_1=1+i$
• ${\lambda }_2=1-i$