07 Eigenvectors and Polynoms

• Algebraische Vielfachheit: wie oft ist eine Nullstelle eine Nullstelle?

• Geometrische Vielfachheit: $\dim (N(A-\lambda I))$

• Wenn gleich, dann complete set of real eigenvectors

• Wenn eine $n\times n$ Matrix $n$ verschiedene reelle Eigenwerte hat, dann complete set of real eigenvectors, also diagonalisierbar

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Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom mit Grad n hat eine Nullstelle $\lambda \in \mathbb{C}$, sodass $P(\lambda )=0$. Nicht jedes Polynom mit Grad n hat n Nullstellen.

Die Algebraische Vielfachheit von $\lambda \in \mathbb{C}$ gibt an, wie oft die selbe Nullstelle $\lambda \in \mathbb{C}$ eine Nullstelle ist. Wenn n Eigenvektoren, lin. unabh. (alle verschieden, lin. Vielfachheit immer 1), dann bilden sie eine (Eigenvektor)Basis.

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Spur (Trace) einer Matrix

Summe aller diagonalen Einträge.

$Tr(AB)=Tr(BA)$ $Tr(ABC)=Tr(BCA)=Tr(CAB)$

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Formeln für das characteristische Polynom in 2x2, 3x3, etc. auf das helpsheet .