10 Spektraltheorem

Aussage

Jede reelle symmetrische Matrix ($A=A^T$) ist orthogonal diagonalisierbar

Bedeutung orthogonal diagonalisierbar

• Das V in $A=V\Lambda V^{-1}$ ist dann eine orthogonale Matrix. Also
• $V^{-1}=V^{\top }$ somit auch
• $A=V\Lambda V^{\top }$

Also, die Spalten von V sind orthonormal (da $V^T\cdot V=I$)

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$\Lambda$ ist Diagonalmatrix mit Eigenwerten, also $\det (A-\lambda I)=0$ $V$ hat Eigenvektoren als Spalten

• sind die Eigenvektoren normal aufeinander? (Skalarprodukt 0, wenn symmetrische Matrix dann automatisch)
• Vektoren normieren