Gauss and Gauss-Jordan

lösen linearer Gleichungssysteme $Ax=b$.

Gauß-Elimination

1. Schreibe als Matrix $[A|b]$
2. Pivot: In der ersten Spalte ein Element ungleich Null (meistens das oberste). Falls dort eine Null steht, tausche die Zeilen.
3. Nutze Zeilenoperationen, um alle Zahlen unterhalb des Pivot-Elements zu $0$ zu machen
4. Gehe zur nächsten Spalte und eine Zeile tiefer. Wiederhole Schritt 2 und 3, bis eine Dreiecksform entsteht (Nullen unten links).
5. Rückwärtseinsetzen

Beispiel

$\begin{array}{rl}x+y+z& =6\\ 2x+4y+2z& =16\\ -x+5y-4z& =-3\end{array}$

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 2& 4& 2& 16\\ -1& 5& -4& -3\end{array}\right]$

Nullen in ersten Spalte

• $Z_2\to Z_2-2\cdot Z_1$
• $Z_3\to Z_3+Z_1$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 2& 0& 4\\ 0& 6& -3& 3\end{array}\right]$

Nullen in zweiten Spalte

• $Z_3\to Z_3-3\cdot Z_2$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 2& 0& 4\\ 0& 0& -3& -9\end{array}\right]$

Ist Zeilenstufenform, also done

4. Rückwärtseinsetzen:

• Zeile 3: $-3z=-9⟹\mathbf{z}=3$
• Zeile 2: $2y+0z=4⟹2y=4⟹\mathbf{y}=2$
• Zeile 1: $x+2+3=6⟹x+5=6⟹\mathbf{x}=1$

Lösung: $(1,2,3)$

---

Gauß-Jordan

1. Gauss-Verfahren, dann normieren, also jede Zeile durch ihr Pivot-Element teilen (oder direkt, geht auch)
2. Rechts unten beginnen, mit Zeilenoperationen alle Zahlen oberhalb der führenden 1 zu $0$ machen
3. Ergebnis: Links Einheitsmatrix, rechts Lösungen

Beispiel

Von oben:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 2& 0& 4\\ 0& 0& -3& -9\end{array}\right]$

Normieren

• $Z_2\to Z_2:2$
• $Z_3\to Z_3:(-3)$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right]$

Rückwärts-Elimination

• $Z_1\to Z_1-1\cdot Z_3$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 3\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right]$
• $Z_1\to Z_1-1\cdot Z_2$ $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right]$ Also:

$x=1,y=2,z=3$