Orthogonalität von Unterräumen
- Wir können Orthogonalität von Vektorräumen über ihre Basen überprüfen. ist Basis von und ist Basis von
V \perp W \quad \Longleftrightarrow \quad v_i \perp w_j \text{ für alle } i,j.
- Wenn $V$ und $W$ orthogonale Unterräume sind, dann ist $$ \{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_\ell\} $$ linear unabhängig. - **Korollar 5.1.4** 1. $V \cap W = \{0\}$ 2. $V+W \text{ ist ein Unterraum}$ 3. $\dim(V+W)=\dim(V)+\dim(W)\le n$ --- ## Orthogonales KomplementV^\perp = { w\in\mathbb{R}^n \mid w^T v = 0\ \forall v\in V}.
N(A) = C(A^T)^\perp = R(A)^\perp.
$$V=(V^\perp)^\perp$$ $$\mathbb{R}^n = V + V^\perp = \{\, v + w \mid v \in V,\; w \in V^\perp \,\}$$ ## Orthogonale Vektorräume Folgende Aussagen sind äquivalent: 1. $W=V^\perp$ 2. $\dim(V)+\dim(W)=n$ 3. Jede Darstellung $u = v + w,\quad v\in V,\ w\in W.$ Achtung – orthogonale Komplemente sind definiert für Unterräume und **nicht für einzelne Vektoren.** --- ## Orthonormale Vektoren - orthogonal - jeweils Länge 1 $A^{T}A = I \Longleftrightarrow$ A hat orthonormale Spalten ## Orthogonale Matrizen Eine Matrix ist orthogonal, wenn ihre Spalten und Zeilen orthonormal sind, **muss also quadratisch sein**. **Äquivalente Aussagen** 1. $Q$ ist orthogonal 2. $Q^T = Q^{-1}$ 3. $Q^{T}Q = QQ^{T} = I$ **Beispiel Rotationsmatrix** (siehe [[1st Semester/LinAlg/Exercises/10 Sheet.pdf|10 Sheet]]) Da $Q^\top Q=I$, gilt für Q: - $||Qx||=||x||$ - $(Qx)^\top(Qy)=x^\top y$ ![[Zerlegungen und Gram Schmidt#gram-schmidt|Gram-Schmidt]] ![[Pasted image 20251202221126.png]]