Rechenregeln

1. Potenzen 

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
• $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$
• $(ab{)}^n=a^n\cdot b^n$
• ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• $a^0=1(a\ne 0)$

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2. Wurzeln

• $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$
• $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
• $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}(a,b\ge 0)$
• $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(b\ne 0)$

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3. Logarithmen

• Definition: ${\log }_a(b)=x⟺a^x=b$
• ${\log }_a(1)=0$
• ${\log }_a(a)=1$
• ${\log }_a(bc)={\log }_a(b)+{\log }_a(c)$
• ${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_a(b)-{\log }_a(c)$
• ${\log }_a(b^n)=n\cdot {\log }_a(b)$
• Basiswechsel: ${\log }_a(b)=\frac{\ln (b)}{\ln (a)}$

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4. Natürlicher Logarithmus & Exponentialfunktion

• $\ln (e)=1$
• $\ln (1)=0$
• $e^{\ln (a)}=a$
• $\ln (e^x)=x$
• $e^{a+b}=e^a\cdot e^b$
• $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$

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6. Sonderfälle & nützliche Identitäten

• $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$
• $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)$
• $\ln (a^n)=n\ln (a)$
• $\ln \left(\sqrt[n]{a}\right)=\frac{1}{n}\ln (a)$
• $\sqrt[n]{a}=e^{\frac{1}{n}\ln (a)}$

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6. Limes-Regeln

• ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$
• ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x^n}=0(n>0)$
• ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$

Wachstumsvergleich für $x\to \infty$:
$\ln (x)\ll x^a\ll a^x\ll x!\ll x^x$

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7. Wachstum und co.

• $ln(n!)\le O(n\ast ln(n))$
• $n!\le n^n$

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8. Vektoren

Linearkombinationen

• $\lambda \mathbf{v}+\mu \mathbf{w}$ ist eine Linearkombination von $\mathbf{v},\mathbf{w}$.
• Speziell:
  • Affin: $\lambda +\mu =1$
  • Konvex: $\lambda ,\mu \ge 0$ und $\lambda +\mu =1$
  • Konisch: $\lambda ,\mu \ge 0$

Skalarprodukt

• $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}={\sum }_{i=1}^n{v}_i{w}_i$
• $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=\Vert \mathbf{v}\Vert \Vert \mathbf{w}\Vert \cos \theta$
• $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0⟺\mathbf{v}\perp \mathbf{w}$
• Rechenregeln:
  • $\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=\mathbf{w}\cdot \mathbf{v}$
  • $(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot \mathbf{w}=\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}+\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$
  • $\lambda \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=\lambda (\mathbf{v}\cdot \mathbf{w})=\mathbf{v}\cdot (\lambda \mathbf{w})$

Norm

• $\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}$
• $\Vert \lambda \mathbf{v}\Vert =|\lambda |\Vert \mathbf{v}\Vert$