02 Ordnung

• Ordnung einer Gruppe: Anzahl Elemente in der Gruppe (ist eine Zahl oder $\infty$)

• Ordnung eines Elementes: Wie oft man ein Element mit sich selbst verknüpfen muss, damit das neutrale Element entsteht. Also $a^{\text{ord}(a)}=e$. Wenn das nicht möglich ist, dann unendlich.

  $\text{ord(a ∈ G)}=\min \{n\ge 1\mid a^n=e\}\cup \{\infty \}$,

• Lagrange. H ist eine Untergruppe von G (endlich). Es gilt |H| teilt |G|.

• Die Ordnung des Generators muss gleich der Gruppenordnung sein (bei endlichen Gruppen)

• $g^{|G|}=e$ für alle $g\in G$. Also “irgendwas hoch die Gruppenordnung ist das neutrale Element”. Das gilt, da ein Element eine zyklische Untergruppe erstellt, also die Ordnung eines Elements teilt die Ordnung der Gruppe. Dann auch $g^{|G|+1}=g$.

• Beispiele (Operation Addition)

  • $|{\mathbb{Z}}_7|=7$, und $\text{ord(1)}=7,\text{ord(2)}=7$
    • $|{\mathbb{Z}}_7|=7$, weil es 7 Restklassen bei mod 7 gibt, also 0,1,2,3,4,5,6
  • $|{\mathbb{Z}}_7^{\ast }|=6$, Anzahl Teilerfremd
  • $|{\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2|=|\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}|=4$, und $\text{ord(1,1)}=2$
  • $|\mathbb{Z}|=\infty$, und $\text{ord(1)}=\infty$
  • $|{\mathbb{Z}}_p^{\ast }|=p-1$, wenn p eine Primzahl. In dem Fall ${\mathbb{Z}}_7^{\ast }=\{1,2,3,4,5,6\}$
  • Siehe 04 Euler

• In einer endlichen Gruppe hat jedes Element eine endliche Ordnung.

  • Vorstellung: wenn ich a wiederholt mit a verknüpfe bis ich das neutrale Element bekomme, dann muss ich ja irgendwann im Kreis laufen, da ich nur endlich viele Elemente habe in der Gruppe. Also z.B. $a$ → $a^2$ → $a^3$ → $a^4$, und z.B. ist $a^2=a^4$.
  • Wir haben also \begin{align} a^r&=a^s\ \text{mit}\ r<s \\ (a^{-r})*a^r&=(a^{-r})*a^s \\ e &= a^{s-r} \\ \text{ord(a)} & \leq s-r \end{align}