01 Einleitung Algebra

Quick Facts

• Eine Algebra besteht aus einer Menge G und einer Operation $\ast$ die aus G nach G formt. Eine Algebra ist somit unter ihrer Operation $\ast$ abgeschlossen.

• $a^n$ heißt hier, dass wir n mal a mit a verknüpfen, also die Operation der Gruppe anwenden

• Wenn nicht genauer definiert nehmen wir als Operation die Addition (modulo something)

• Monoid: $〈G,\ast ,e〉$

  • Algebra
  • Operation $\ast$ ist assoziativ (G1)
  • gibt ein neutrales Element $e\in G$, $a\ast e=e\ast a=a\forall a\in G$ (G2)
  • Beispiel: $〈\mathcal{P}(\mathbb{N});\cap 〉$ ist ein Monoid, da die Union assoziativ ist, neutrales Element ist $\mathbb{N}$

• Gruppe: $〈G,\ast ,\hat{},e〉$

  • Monoid
  • gibt ein inverses Element für jedes $a\in G$ existiert $\hat{a}\in G$, so dass $a\ast \hat{a}=\hat{a}\ast a=e$ (G3)
  • → 03 Zyklische Gruppen

• Abelsche Gruppe (Abelian):

  • Gruppe
  • Kommutativität

Ordnung

→ siehe 02 Ordnung

Homomorphism and Isomorphism

Homomorphism

$\psi (a\circ b)=\psi (a)\ast \psi (b)$

Es ist egal, ob wir zuerst die Operation und dann das mapping machen, oder zuerst das mappen und dann die Operation.

Isomorphismus

Ein Homomorphismus der zusätzlich eine Bijektion ist, also:

• injektiv ($\psi (a)=\psi (b)\Rightarrow a=b$)
• surjektiv ($\text{fu¨r jedes }h\in H\text{ gibt es ein }g\in G\text{ mit }\psi (g)=h$)

Für jedes $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ist jede zyklische Gruppe der Ordnung $n$ isomorph zu ${\mathbb{Z}}_n$. Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu $\mathbb{Z}$.

1. Homomorphismus-Eigenschaft: $\varphi (g_1\cdot g_2)=\varphi (g_1)\cdot \varphi (g_2)$
2. Bijektivität: $\varphi$ ist eine eineindeutige (injektive) und surjektive (onto) Abbildung.

→ how to proof an isomorphism → great Intuition-based explanation

Untergruppen (Subgroups)

Eine Teilmenge (subset) $H\subseteq G$ einer Gruppe ist eine Subgruppe, wenn

• die binäre Operation auf Elemente der Teilmenge (Untergruppe) ist in der Untergruppe abgeschlossen
• das neutrale Element ist in der Untergruppe
• für alle Elemente in der Untergruppe ist ihre Inverse auch in der Untergruppe

2 triviale Teilmengen (Untergruppen) der Gruppe $G$:

• $\{e\}$
• G selbst

Beispiel

Wie viele Untergruppen hat $⟨{\mathbb{Z}}_4,+⟩$?

Schnell, zyklisch (Lagrange)

1. Da zyklische Gruppe: gibt so viele Untergruppen, wie Teiler der Gruppenordnung.
2. Teiler von 4 sind 1, 2, 4, gibt also 3 Untergruppen.

Manuell (Lagrange)

1. Lagrange: Ordnung der Untergruppe teilt die Gruppenordnung.
2. Gruppenordnung ist 4, also Ordnung von Untergruppen 1, 2 oder 4.
   1. Ordnung 1: {0}
   2. Ordnung 2: siehe 2+2=0, also {0,2}
   3. Ordnung 4: {0,1,2,3}
3. Inverse muss auch in der Untergruppe sein, also wäre {2} allein nicht erlaubt.

Direct Product

Aus mehreren Gruppen $G_1,G_2,\dots ,G_n$ bauen wir eine neue Gruppe, deren Elemente Toupel $a_1,\dots ,a_n$ sind ($a_i\text{ aus }{G}_i$). Erste Komponenten werden mit der Operation von $G_1$ verknüpft, die zweiten mit $G_2$, etc.

Beispiel:

$G_1$ = $〈\mathbb{R},+〉$ $G_2$ = $〈{\mathbb{R}}_{>0},\ast 〉$

In $\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}_{>0}$ sieht ein Element so aus $(a,b)\text{ mit }a\in \mathbb{R},b\in {\mathbb{R}}_{>0}$.

Operation: $(a,b)\star (c,d)=(a+c,b\ast d)$ Neutrales Element: $(0,1)$ Inverses: $\left(-a,\frac{1}{b}\right)$ (einmal das Inverse von a in $G_1$ und einmal das von a in $G_2$)