03 Zyklische Gruppen

Es gibt ein einziges Element, aus dem durch wiederholtes Anwenden der Gruppenoperation alle Elemente der Gruppe entstehen.

Number of Generators

The number of generators for the cyclic group ${\mathbb{Z}}_{49}$ is $\phi (49)=42$. The number of generators of ${\mathbb{Z}}_{49}^{\ast }$ is $\phi (42)=12$. An element is a generator, if the gcd of the Gruppenordnung and the element is 1.

Number of Subgroups

Die Anzahl der Untergruppen entspricht also der Anzahl der Teiler von $\phi (m)$.

Beispiel ${\mathbb{Z}}_{49}^{\ast }$

1. Ordnung der Gruppe $n=\phi (49)=42$
2. Finde die Teiler von 42: $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$
3. Es gibt insgesamt 8 Teiler
4. Ergebnis: ${\mathbb{Z}}_{49}^{\ast }$ hat genau 8 Untergruppen

Beispiele

$\mathbb{Z}$ = $〈1〉$ ${\mathbb{Z}}_7^{\ast }$ = $〈3〉$, also {3,2,6,4,5,1} (mit 3 hoch steigendem n kommt man mod 7 auf alle Restklassen)

• Lagrange:

  • H ist eine Untergruppe von G (endlich). |H| teilt |G|.
  • $g^{|G|}=e$ für alle $g\in G$.

• Die Ordnung des Generators muss gleich der Gruppenordnung sein (bei endlichen Gruppen)

• ord(a) divides |G| for every a ∈ G

• Unter Addition modulo 8 muss für einen Generator $\gcd (k,8)=1$ gelten.

• Gruppe G ist zyklisch, wenn $g\in G$ existiert mit $〈g〉=G$. Somit $\text{ord(g)}=|G|$.

• A cyclic group of order n is isomorphic to〈${\mathbb{Z}}_n$; ⊕〉, siehe Vorlesung

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