05 Ringe und Körper

Gruppe:

• Menge mit einer Verknüpfung, jedes Element hat Inverse

Ring: $〈R,+,-,0,\cdot ,1〉$

• Menge mit zwei Verknüpfungen (Addition und Multiplikation)
  • Unter Addition: Gruppe
• Nicht jedes Element hat multiplikatives Inverse

Körper: $〈R,+,-,0,\cdot ,-1,1〉$

• Ring, alle Elemente außer 0 haben Inverses in der Multiplikation (Einheit)

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Kurze Wiederholung

• $|Z_7|=7$
• $|Z_7^{\ast }|=\phi (7)=6\text{(Anzahl teilerfremder Elemente)}$
  • $Z_7^{\ast }=\{1,2,3,4,5,6\}$
  • $Z_{12}^{\ast }=\{1,5,7,11\}$
• $Z_7^{\ast }=⟨3⟩$
• $\text{GF}(7)={\mathbb{Z}}_7$
• $|\text{GF}(p{)}^{\ast }|=p-1$ wenn p prim (Anzahl invertierbarer Elemente)

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Ring

Ring $R=⟨R,+,\cdot ,0,1⟩$

• $⟨R,+,0⟩$ abelsche Gruppe
• $⟨R,\cdot ,1⟩$ Monoid (nicht immer kommutativ)

In einem Ring gilt das Distributivgesetz.

Nullteiler

Ein nicht-null Element, dass multipliziert mit einem nicht-null Element 0 ergibt.

$ab{\equiv }_{m}0\Rightarrow a{\equiv }_{m}0\text{oder}b{\equiv }_{m}0$

z. B. 2 in ${\mathbb{Z}}_{2m}$

Integritätsbereich

Ring ohne Nullteiler. R ist Integritätsbereich, wenn R keinen Nullteiler hat

z.B. ${\mathbb{Z}}_5=\{0,1,2,3,4\}$ gibt keine $a,b\ne 0$ mit $ab=0$

z.B. $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C},{\mathbb{Z}}_m$ für m prim

Einheit

$a\cdot b=1$ für ein $b\in R$ Alle Elemente die teilerfremd zur Gruppenordnung sind.

Notation: $\boxed{{\text{R}}^{\ast }}$ bedeutet alle Einheiten, also alle invertierbaren Elemente.

Irreduzibilität

Element, das keine (interessanten) Zerlegungen hat (z. B. Primzahlen). Einheiten zählen nicht als irreduzibel

Irreduzierbarkeit von Polynomen

helpsheet Liste an irreduziblen Polynomen

1. $deg(a)\ge 1$
2. alle $p(x)$ mit $p(x)|a(x)$ $deg(p)=0$ oder p ist Vielfaches von a

Also nicht-triviale Teiler haben Grad zwischen 0 und a

• Ein Polynom ist reduzierbar, wenn es eine Nullstelle im betrachteten Körper hat.
• Bei Grad 1,2,3 gilt: ein Polynom ist irreduzierbar, wenn es keine Nullstelle im betrachteten Körper hat. Ab Grad 4 gilt das nicht mehr, da wir Faktorisierungen als quadratisch $\times$ quadratisch haben könnten, ohne dass Nullstellen existieren. Grad 3: linear $\times$ quadratisch, also Nullstelle bei linear.

z.B. $(x^2+1)$ in $\mathbb{R}$ irreduzibel, in $\mathbb{C}$ nicht, da: $x^2+1=(x+i)(x-i)$

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Link to original

Lemma 5.17

Polynomringe

→ siehe 06 Polynome

Körper

• Ring, aber jedes Element außer 0 hat ein Inverses.
• Wenn Körper, dann auch Integritätsbereich.
• Alle Körper mit gleich vielen Elementen sind isomorph.
• Man kann rechnen wie mit normalen Zahlen. Die Division ist “mal das Inverse”.
• Es gibt einen Körper mit x Elementen wenn x prim oder $x=p^k$ für p prim

z.B.

• $\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{C}$
• $〈{\mathbb{Z}}_m,{+}_m,{\cdot }_m〉$ für m prim
• $F[x{]}_{m(x)}$ für irreduzibles m(x)

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$F$ Körper $\Rightarrow F$ Integritätsbereich (kein Nullteiler)

Beweis:

Sei $u\in F\setminus \{0\}$ $\underline{u\cdot v=0}\Rightarrow v=0$:

$$\begin{array}{rl}v& =1\cdot v\\ v& =u^{-1}\cdot \underset{0\text{ per Annahme}}{\underbrace{u\cdot v}}\\ v& =u^{-1}\cdot 0=0\end{array}$$

Def. „GF“

$GF(p)={\mathbb{Z}}_p$ für $p$ prim

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