06 Polynome

Polynome als Ringe

$F [x]$ … Polynom über einen Körper mit Koeffizienten aus F. $F [x]$ ist ein Ring.

z.B. $R [x]$ ,
$Z_{5} [x]$

Da nur Konstanten (Grad 0) invertierbar sind, gilt $R [x]^{*} = R^{*}$

Wenn R ein Ring ist, dann ist $R [x]$ auch ein Ring

Anzahl Elemente in Polynomring: $modulo Wert^{h \overset{o}{¨} chster Grad des Polynoms}$

max. Potenz hat Koeffizient $1$

$de g (x^{5}) = 5$ $de g (x) = 1$ $de g (2) = 0$ $de g (0) = - \infty$

$∣ R [x] ∣ = \infty$ , auch wenn R endlich, z.B. $∣ R ∣ = 5$ , da unendlich viele mögliche Grade $∣ Z_{2} [x]_{x^{2} + 1} = 2^{2}$

z.B. über $GF (7) = Z_{7}$ , also Koeffizienten immer mod 7 Theorem 5.25 Grad vom Rest r(x) ist kleiner als der von b(x)

a (x) = b (x) \cdot q (x) + r (x) x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 4 = (2 x^{2} + x + 1) (4 x + 6) + (2 x + 5) - (x^{3} + 4 x^{2} + 4 x) - (x^{3} + 5 x^{2} + 1 x + 4 - (x^{3} + - (5 x^{2} + 6 x + 6) - (x^{3} + - (5 x^{2} + 6 x + 2 x + 5

helpsheet Liste an irreduziblen Polynomen

Also nicht-triviale Teiler haben Grad zwischen 0 und a

Ein Polynom ist reduzierbar, wenn es eine Nullstelle im betrachteten Körper hat.
Bei Grad 1,2,3 gilt: ein Polynom ist irreduzierbar, wenn es keine Nullstelle im betrachteten Körper hat. Ab Grad 4 gilt das nicht mehr, da wir Faktorisierungen als quadratisch $\times$ quadratisch haben könnten, ohne dass Nullstellen existieren. Grad 3: linear $\times$ quadratisch, also Nullstelle bei linear.

z.B. $(x^{2} + 1)$ in $R$ irreduzibel, in $C$ nicht, da: $x^{2} + 1 = (x + i) (x - i)$

\alpha \text{ ist Nullstelle} &\Longleftrightarrow p(\alpha)=0 \\ &\Longleftrightarrow (x-\alpha) \ | \ p(x) \end{align}$$ Also ist $p(x)$ reduzibel, wenn es eine Nullstelle gibt. Die Umkehrung gilt nur bei Grad $\leq$ 3, siehe oben --- ## Polynome als Körper - $\mathbb{Z}_{5}[x]$ ist kein Körper, da z.B. $x^2$ keine Inverse hat. Daher modulus, z.B: $\mathbb{Z}_{5}[x]_{x^2}$ - $F[x]_{m(x)}$ ist ein Körper für irreduzibles $m(x)$ > Es existiert ein Körper mit k Elementen $\Longleftrightarrow k=p^n \text{ mit p prin, n}\in \mathbb{N}$ **Rechenbeispiele** - $3x^3 + 2 \equiv_{x^2} 2$ z.B. $\mathbb{Z}_{3}[x]_{x^3 + 2x + 1}$ ist ein Körper, da (quick-check) $\mathbb{Z}_{3}$ ein Körper ist und da $x^3+2x+1$ keine Nullstelle hat (ist also irreduzibel) --- ## Notizen ![[DM Lecture 19-11-2025.pdf]]