01 Determinante

• Vorstellung in ${\mathbb{R}}^2$: Determinante gibt Flächeninhalt der durch Spaltenvektoren aufgespannten Körpers an

• Für eine Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ gilt die Formel: $\det (A)=a\cdot d-c\cdot b$

• → 03 The General Case

Rechenregeln

• A nicht quadratisch: $\det (A)=0$. Im Folgenden also nur quadratische Matrizen:

Für quadratische Matrizen

• $\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$
• $\det (A^T)=\det (A)$
• $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$ ($\det (A)\ne 0$)
• $\det (\lambda \cdot A)={\lambda }^n\cdot \det (A)$ (wobei $n$ die Ordnung der Matrix ist)
• Matrix orthogonal, also $Q^{\top }Q=I$, dann gilt: $\det (A)=\pm 1$
• Zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, Vorzeichen der Determinante swappen
• Determinante ändert sich nicht wenn man ein Vielfaches einer Zeile (Spalte) zu einer anderen addiert
• Invertierbar genau dann wenn $\det (A)\ne 0$. (lin.abh., dann det 0, imagine zwei Vektoren auf einer Linie, also Flächeninhalt 0)

Determinanten sind linear:

Für jede $a_0,\dots ,a_n\in {\mathbb{R}}^n$ und ${\alpha }_0,{\alpha }_1\in \mathbb{R}$ $\det \left(\left[\begin{array}{c}-{\alpha }_0{a}_0^T+{\alpha }_1{a}_1^T-\\ -a_2^T-\\ ⋮\\ -a_n^T-\end{array}\right]\right)={\alpha }_0\det \left(\left[\begin{array}{c}-a_0^T-\\ -a_2^T-\\ ⋮\\ -a_n^T-\end{array}\right]\right)+{\alpha }_1\det \left(\left[\begin{array}{c}-a_1^T-\\ -a_2^T-\\ ⋮\\ -a_n^T-\end{array}\right]\right)$ und auch für Spalten \begin{align} &\det \left( \begin{bmatrix} | & | & & | \\ \alpha_0 a_0 + \alpha_1 a_1 & a_1 & \cdots & a_n \\ | & | & & | \end{bmatrix} \right) \\ &= \alpha_0 \det \left( \begin{bmatrix} | & & | \\ a_0 & \cdots & a_n \\ | & & | \end{bmatrix} \right) + \alpha_1 \det \left( \begin{bmatrix} | & & | \\ a_1 & \cdots & a_n \\ | & & | \end{bmatrix} \right) \end{align}

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Determinanten spezieller Matrizen

Quadratische Permutationsmatrix

• ungerade (gerade) Anzahl an Permutationen, dann ist die Determinante -1 (1) Untere/Obere Dreiecksmatrix:
• Diagonale multiplizieren Nur nicht-null Einträge an der Diagonale
• Diagonale multiplizieren

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→ 05 Kofaktoren (Laplace-Formel) → 03 The General Case (Leibnitz-Formel)