05 Kofaktoren

→ siehe 04 Cramers Rule

Laplace-Methode

• Submatrix einer Matrix A mit genau einer Zeile und Spalte weniger als A
• $\det (A)$ ist die Summe der Elemente einer Zeile (oder Spalte) mal den zugehörigen Kofaktoren

$\det (A)={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}\cdot c_{ij}$ Fixiere eine Zeile i oder Spalte j und berechne: $c_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot \det ({\mathcal{A}}_{ij})$wobei hier $\mathcal{A}$ für A mit der entfernten Zeile i und Spalte j ist.

Also z.B in $3\times 3$: $\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\underset{C_{11}}{\underbrace{\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|}}+a_{12}\underset{C_{12}}{\underbrace{\left(-\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|\right)}}+a_{13}\underset{C_{13}}{\underbrace{\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|}}$

Lemmas

$\det (A)={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{C}_{ij}$ $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ mit $\det (A)\ne 0$. Sei $C$ die $n\times n$ Matrix mit den Kofaktoren von $A$ als Einträge:

$$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}{C}^T$$