04 Cramers Rule

Introduction

Nutzen zum Lösen von Gleichungssystemen, wenn

• Quadratisch, also gleich viele Gleichungen wie Unbekannte
• $\det (A)\ne 0$ (gibt eine eindeutige Lösung)

Zum Lösen von $Ax=b$

Pro Unbekannte $x_i$: $x_i=\frac{\det ({\mathcal{B}}_i)}{\det (A)}$

${\mathcal{B}}_i$: Hilfsmatrix, nachdem die i-te Spalte von A mit dem Vektor b (rechte Seite) ersetzt wurde

Beispiele

Walkthrough in $3\times 3$

$Ax=b$: $A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\text{und}b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]$ $x_1=\frac{\det \left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{b}}_1& a_{12}& a_{13}\\ {\mathbf{b}}_2& a_{22}& a_{23}\\ {\mathbf{b}}_3& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]}{\det (A)},x_2=\frac{\det \left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {\mathbf{b}}_1& a_{13}\\ a_{21}& {\mathbf{b}}_2& a_{23}\\ a_{31}& {\mathbf{b}}_3& a_{33}\end{array}\right]}{\det (A)},x_3=\frac{\det \left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& {\mathbf{b}}_1\\ a_{21}& a_{22}& {\mathbf{b}}_2\\ a_{31}& a_{32}& {\mathbf{b}}_3\end{array}\right]}{\det (A)}$

Rechenbeispiel in $2\times 2$

$\{\begin{array}{l}2x+1y=5\\ 1x-3y=-1\end{array}$ $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -3\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right]$Da $\det (A)=-7\ne 0$ ist das System lösbar. Formel von oben ist $x_i=\frac{\det ({\mathcal{B}}_i)}{\det (A)}$, also $x_1=\frac{\det \left[\begin{array}{cc}5& 1\\ -1& -3\end{array}\right]}{\det (A)}=\frac{-15-(-1)}{-7}=\frac{-14}{-7}=2$

$x_2=\frac{\det \left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& -1\end{array}\right]}{\det (A)}=\frac{-2-5}{-7}=\frac{-7}{-7}=1$