09 Diagonalisierung

Prerequesits

• das charakteristische Polynom $\det (A-\lambda I)=0$ zerfällt in Linearfaktoren
• die geometrische und algebraische Vielfachheit der Eigenwerte muss gleich sein
  • algebraische Vielfachheit: wie oft ist eine Nullstelle eine Nullstelle
  • geometrische Vielfachheit: $\dim (N(A-\lambda I))$ für jedes $\lambda$
  • gleich? complete set of real eigenvectors

Suche eine Diagonal Matrix D (nur Einträge auf der Diagonalen), die zur Matrix A ähnlich ist. A und B sind ähnlich, wenn es S gibt mit $B=S^{-1}\cdot A\cdot S$. Wir schreiben die Eigenwerte in die Diagonale.

$D=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$

• $V$ hat Eigenvektoren als Spalten

• $\Lambda$ ist Diagonalmatrix mit Eigenwerten

• $A=V\Lambda V^{-1}$

• $\Lambda =V^{-1}AV$

Definition ähnliche Matrizen

• A und B sind ähnlich, wenn S existiert sodass $B=S^{-1}AS$
• ähnliche Matrizen haben die selben Eigenwerte

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Matrix-Potenzen berechnen

z.B. man möchte $A^{100}$ berechnen.

$A^2=(V\Lambda V^{-1})\cdot (V\Lambda V^{-1})$ $A^2=V\cdot \Lambda \cdot \Lambda \cdot V^{-1}=V{\Lambda }^2{V}^{-1}$ $A^k=V{\Lambda }^k{V}^{-1}$ ${\Lambda }^k=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1^k& 0\\ 0& {\lambda }_n^k\end{array}\right)$