09b Geometrische Vielfachheit

• Algebraische Vielfachheit: wie oft ist eine Nullstelle eine Nullstelle?

• Geometrische Vielfachheit: $\dim (N(A-\lambda I))$

• Wenn gleich, dann complete set of real eigenvectors

• Wenn eine $n\times n$ Matrix $n$ verschiedene reelle Eigenwerte hat, dann complete set of real eigenvectors, also diagonalisierbar

Beispiel

$A=\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$ Eigenwerte ${\lambda }_1=4,{\lambda }_2=2$.

1. Lambda = 4

$A-4I=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -2\end{array}\right]$

Löse $(A-4I)x=0$

x_2=0\\ -2x_2=0 \end{cases} \Rightarrow x_2=0,\; x_1 \text{ frei}$$ $\text{Nullspace von A - 4 I}=\left\{ \begin{pmatrix}x_1\\0\end{pmatrix} : x_1\in\mathbb{R}\right\}$ $\boxed{\text{geom. Vielfachheit von }4 = 1}$ **Repeat mit Lambda = 2**