Matrizen Invertieren und Multiplizieren

Quick Facts

• Invertierbar, wenn quadratisch und voller Spaltenrang

• Bei der Identitätsmatrix I gilt $(A+I{)}^2=A^2+2AI+I^2$. Sonst aber nicht.

Rechenregeln

• $(AB{)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}$
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
• $(A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\mathrm{T}}$
• $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
• $A^{-1}\cdot A=I$

• Der Nullspace von A ist nie $\varnothing$, da $A\cdot 0=0$ immer gilt.

• Wenn A invertierbar ist, so gilt $Ax=0$ nur für $x=0$

• $(A^2{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^2$

• “invertierbar” heißt eigentlich bijektiv, siehe Transformations-Eigenschaften

Invertieren

Case $1\times 1.$

$$A=[a]\Rightarrow A^{-1}=\left[\frac{1}{a}\right](\text{if }a\ne 0).$$

Case $2\times 2.$

$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right](\text{if }ad-bc\ne 0).$$

Sonst? Durch Logik oder Row Operations eine Matrix mit $B\cdot B^{-1}=I$ finden. Siehe Inverse Matrix.mp4