Transformations-Eigenschaften

Injektiv: jeder unterschiedliche Input hat einen unterschiedlichen Output (zum Beweisen, “bekomme ich 0 auf irgendeine andere Art?“)

Prüfe den Nullraum. Zeige, dass der Nullraum nur den Nullvektor enthält: N(T)={0}. Setze T(v)=0 und zeige, dass daraus zwingend v=0 folgen muss.

Surjektiv: für jeden Output gibt es einen Input ($x^2$ ist nicht surjektiv, da ich unmöglich $=-1$ bekommen kann)

Bijektiv = Injektiv + Surjektiv (invertierbar)

Nur bijektive Funktionen können umgekehrt werden. Wenn bijektiv, dann nur linear unabhängig

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Lineare Transformationen

$A({\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2)={\lambda }_{1}A{x}_1+{\lambda }_{2}A{x}_2$

bzw. genügt $A({\lambda }_1{x}_1+x_2)={\lambda }_{1}A{x}_1+A{x}_2$

oder auch

1. $T(x+x^{\prime })=T(x)+T(x^{\prime })$
2. $T(\lambda x)=\lambda T(x)$

bzw. (Lemma 2.23):

1. $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (Additivität)
2. $f(cx)=cf(x)$ (Homogenität)

→ siehe Matrizen und Transformationen