Formeln zur Pseudoinverse

Quick-Facts

• $A^{{}^{†}}=R^{{}^{†}}{C}^{{}^{†}}=R^{\top }(C^{\top }A{R}^{\top }{)}^{-1}{C}^{\top }$
• $(A^{\top }{)}^{†}=(A^{†}{)}^{\top }$
• NUR wenn wir einmal vollen Spaltenrang und einmal vollen Zeilenrang haben gilt $(CR{)}^{†}=R^{†}{C}^{†}$

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• $A{A}^{+}A=A$
• $A^{+}A{A}^{+}=A^{+}$
• $(A{A}^{+}{)}^T=A{A}^{+}$ (Symmetrie)
• $(A^{+}A{)}^T=A^{+}A$ (Symmetrie)

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Formeln

Linksinverse bei vollem Spaltenrang

$A^{†}=(A^{\top }A{)}^{-1}{A}^{\top }$ $A^{†}A=I$

Rechtsinverse bei vollem Zeilenrang

$A^{†}=A^{\top }(A{A}^{\top }{)}^{-1}$ $A{A}^{†}=I$

Pseudoinverse

CR-Zerlegung durchführen $A^{†}=R^{†}{C}^{†}$ C voller Spaltenrang, R voller Zeilenrang, also

A^{^\dagger} &= R^{^\dagger} C^{^\dagger} \\ &= R^{\top} (R R^{\top})^{-1} \, (C^{\top} C)^{-1} C^{\top} \\ &= R^{\top} (C^{\top} C \, R R^{\top})^{-1} C^{\top} \\ &= R^{\top} (C^{\top} A R^{\top})^{-1} C^{\top} \end{align}$$ --- Vgl. [[Least Squares und Lineare Regression]]