Zerlegungen und Gram Schmidt

CR-Zerlegung

Zerlegung einer Matrix in ihre linear unabhängigen Spalten ($C$) und ihre Zeilenbasis ($R$).

• Formel: $A=C\cdot R$

1. Bringe $A$ in die reduzierte Zeilenstufenform (rref).
2. R: Nimm die Zeilen aus der rref, die nicht Null sind.
3. C: Nimm die Spalten aus der Originalmatrix $A$, wo in der rref die führenden Einsen (Pivots) stehen.

Beispiel:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 2& 6& 8\end{array}\right]$

1. rref(A): $\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ (Pivot ist in Spalte 1).
2. R: $\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\end{array}\right)$ (die einzige Nicht-Null-Zeile).
3. C: $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ (die 1. Spalte aus $A$).
4. Check: $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 2& 6& 8\end{array}\right]=A$.

oder mache Gauss-Jordan, nehme die Spalten die eine neue Zeile introducen für C und gleich die ersten Zeilen als R’

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Gram-Schmidt

Ziel: Basis (linear unabhängige Matrix) orthogonal und Länge 1 machen

Step-by-Step: Gegeben $n$ linear unabhängige Vektoren $a_1,\dots ,a_n$, die den Unterraum $S$ erzeugen.

1. $q_1=\frac{a_1}{\Vert a_1\Vert }$
2. Für $k=2,\dots ,n$ setze: $q_k^{\prime }=a_k-{\sum }_{i=1}^{k-1}(a_k^{\top }{q}_i)q_i,q_k=\frac{q_k^{\prime }}{\Vert q_k^{\prime }\Vert }$

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QR-Zerlegung

$A=QR$

• Q ist $m\times n$ Matrix mit orthonormalen Spalten (output von Gram Schmidt).
  • $Q{Q}^{\top }A=A$
• R ist obere Dreiecksmatrix durch $R=Q^{\top }A$
  • R ist invertierbar