Projektionen (Formel und Beispiel)

→ siehe Zusammenfassung von der Übung → siehe meine (professionelle) Skizze

Quick Facts

$$A^{T}A\text{ invertierbar}⟺A\text{ hat linear unabha¨ngige Spalten}.$$

Sei $S$ der von den Spalten von $A$ erzeugte Raum. Es gilt:

$${\mathrm{proj}}_S(b)=Pb=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b,P=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T$$

P ist die Projektionsmatrix. Für in-depth Informationen, siehe Least Squares und Lineare Regression.

Vektor-weise Projektion: ${\text{proj}}_s(b)=\frac{a^{\top }b}{a^{\top }a}a$

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Beispiel: Projektion Vektor auf Ebene

Gegeben:

$$\mathbf{u}=(1,1,-1),\mathbf{v}=(1,7,11),\mathbf{w}=(4,2,6)$$

Unterraum:

$$S=\mathrm{span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$$

Schritt 1: Matrix $A$

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 7\\ -1& 11\end{array}\right)$$

Schritt 2: Produkt

$$A^{T}A=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ -3& 171\end{array}\right)$$ $$x=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T\mathbf{w}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Schritt 3: Projektion

$${\mathrm{proj}}_S(\mathbf{w})=A\mathbf{x}=\frac{1}{2}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 5\end{array}\right)$$ $$\mathbf{r}=\mathbf{w}-{\mathrm{proj}}_S(\mathbf{w})=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$$

Norm:

$$\Vert \mathbf{r}\Vert =\sqrt{3^2+(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{14}$$

Check:

$$\mathbf{r}\cdot \mathbf{u}=0,\mathbf{r}\cdot \mathbf{v}=0$$

z.B. Winkel

$$\cos \theta =\frac{\mathbf{w}\cdot {\mathrm{proj}}_S(\mathbf{w})}{\Vert \mathbf{w}\Vert \Vert {\mathrm{proj}}_S(\mathbf{w})\Vert }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Damit:

$$\theta =30^{\circ }$$