01 Logik, Mengen, Zahlen

Logik

• $\exists !$ es gibt genau eins
• $A⟹B$ A ist hinreichend und B ist notwendig
• $A⟹B$ ist gleichbedeutend zu $\neg B⟹\neg A$

Mengen

• $\subset$ ist hier gleichbedeutend mit $\subseteq$, die echte Teilmenge ist $⊊$

• $X\subset Y$, dann ist das Komplement $X^c:=\{y\mid y\in Y\wedge y\notin X\}$

• $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$

• $\mathbb{R}=(-\infty ,\infty )$

Intervalle

• Intervall offen $(a,b)$

• Intervall abgeschlossen $[a,b]$

• Intervall halboffen

• Intervall beschränkt: a, b endlich

• Intervall kompakt: abgeschlossen und beschränkt

• eine obere (untere) Schranke einer Teilmenge X ist eine Zahl die grösser gleich (kleiner gleich) ist, als alle Zahlen in der Teilmenge. Gibt viele.

• Supremum $\text{sup}(X)$: kleinste obere Schranke. Unique if exists.

• Infimum $\text{inf}(X)$: grösste untere Schranke. Unique if exists.

• ein Maximum (Minimum) einer Menge ist das grösste bzw. kleinste Element der Menge. Unique if exists.

Beispiel

$X=[-2,1)$

• Minimum: -2
• Supremum: 1

$X=\{\}$

• Supremum: $-\infty$

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Axiome

Axiome der Addition und Multiplikation:

• Assoziativität, neutrales Element, Inverses, Kommutativität

Ordnungsaxiome

• Reflexivität, Transitivität, antisymmetrie, Totalität
• $\mathbb{R}$ und $\mathbb{Q}$

Ordnungsvollständigkeit:

• Let $A,B\subseteq \mathbb{R}$, nicht leer, und gilt $\forall a\in A,\forall b\in B:a\le b$. Es gibt ein c:
  • $\forall a\in A:a\le c$
  • $\forall b\in B:c\le b$
• gilt für $\mathbb{R}$, nicht für $\mathbb{Q}$
• Beweis siehe Slides

Beweis mit dem Ordnungsvollständigkeitsaxiom