Matrizen und Transformationen

Allgemein

Eine $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.

Lemma 1.28

Wenn $m$ Vektoren $v_1,\dots ,v_m\in {\mathbb{R}}^m$ linear unabhängig sind, dann spannen sie den ganzen Raum auf:

$$\text{Span}(v_1,\dots ,v_m)={\mathbb{R}}^m$$

---

Spezielle Matrizen

Name	Bedingung	Beispiel
Identität $I$	$a_{ij}={\delta }_{ij}$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
Diagonalmatrix	nur Hauptdiagonale $\ne 0$	$\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$
Obere Dreiecksmatrix	$a_{ij}=0$ für $i>j$	$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 4& 7\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$
Untere Dreiecksmatrix	$a_{ij}=0$ für $i<j$	$\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 4& 0\\ 0& 7& 5\end{array}\right]$
Symmetrisch	$A=A^T$	$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 4& 7\\ 0& 7& 5\end{array}\right]$

---

1. Ein Vektor $b\in {\mathbb{R}}^m$ ist genau dann eine Linearkombination der Spalten von $A$, wenn es ein $x$ mit $Ax=b$ gibt.
   → Alle $b$, die man durch $Ax$ erreichen kann, sind im Spaltenraum von $A$.

2. Die Spalten von $A$ sind linear unabhängig, genau dann, wenn die einzige Lösung von $Ax=0$ der Nullvektor ist.

---

Span und Spaltenraum

Wenn du eine Matrix $A=[v_1{v}_2\cdots v_n]$ hast, dann sind ihre Spalten $v_j\in {\mathbb{R}}^m$.
Der Spaltenraum (column space) ist also genau der Span dieser Spalten:

$$C(A)=\text{Span}(v_1,v_2,\dots ,v_n)$$

oder:

$$C(A)=\{Ax:x\in {\mathbb{R}}^n\}$$

Der Spaltenraum ist die Menge aller Ergebnisse, die du erhältst, wenn du $A$ auf alle möglichen Vektoren $x$ anwendest.

Da $Ax=x_1{v}_1+x_2{v}_2+\cdots +x_n{v}_n$, ist das genau der gleiche Ausdruck wie der Span oben – nur in anderer Notation.

---

Linearität und Transformationen

Eine Matrix-Transformation ist immer linear. Ein Lineares Funktional bildet von einem Vektorraum in die reellen Zahlen ab.

Lineare Transformationen

$A({\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2)={\lambda }_{1}A{x}_1+{\lambda }_{2}A{x}_2$

bzw. genügt $A({\lambda }_1{x}_1+x_2)={\lambda }_{1}A{x}_1+A{x}_2$

oder auch

1. $T(x+x^{\prime })=T(x)+T(x^{\prime })$
2. $T(\lambda x)=\lambda T(x)$

bzw. (Lemma 2.23):

1. $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (Additivität)
2. $f(cx)=cf(x)$ (Homogenität)

→ siehe Matrizen und Transformationen

Link to original

---

Schreibweise $T_A(x)=Ax$

• $T_A$ ist Name der Abbildung (die zur Matrix $A$ gehört)
• $x$ ist Input
• $Ax$ ist Output

---

Kombinieren von Transformationen

$$x\stackrel{T_B}{\to }Bx\stackrel{T_A}{\to }A(Bx)$$

Zusammen:

T_C(x) = T_A(T_B(x)) = A(Bx) $$**Komposition**:

T_C = T_A \circ T_B

$$(„erstB,dannA“).$$