04 Komplexe Zahlen

$i^2=-1$ $\mathbb{C}=\{a+ib\mid a,b\in \mathbb{R}\}$

Wichtig

$lm(z)$ enthält NICHT das i

Grundrechenarten

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Gausssche Zahlenebene

Komplexe Zahlen können wir in der Ebene darstellen, indem wir auf der horizontalen Achse den Realteil und auf der vertikalen Achse den Imaginärteil abtragen.

Richtungsvektor vom Ursprung zu diesem Punkt, Länge davon ist Betrag der komplexen Zahl.

Allternative Beschreibung von komplexen Zahlen in der Ebene:

Polarform

Polarkoordinaten

Eulersche Formel

Umrechnen

Potenzen komplexer Zahlen

→ check that out again

Wurzeln komplexer Zahlen

Anzahl Wurzeln

Höchte Potenz ist Anzahl Wurzeln

Funamentalsatz der Algebra

Jedes (nicht konstante) Polynom von $deg(n)$

1. kann in n Linearfaktoren faktorisiert werden
   • hat somit n Nullstellen (inkl. Vielfachheit)
   • hat maximal n verschiedene Nullstellen
2. hat mindestens eine komplexe Nullstelle

Wann nicht max. Anzahl?

Nullstellen berechnen

z.B.

$p(z)=z^4-6z^3+23z^2-34z+26$

Gegeben: $1+i$ ist eine Nullstelle von $p(z)$

1. $1+i$ (gegeben)
2. $1-i$ (komplex konjugiert)

$(z-(1+i))\cdot (z-(1-i))=z^2-2z+2$, jetzt Polynomdivision: $(z^4-6z^3+23z^2-34z+26):(z^2-2z+2)=z^2-4z+13$. 0 Rest. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra wissen wir, dass das Polynom die Funktion teilt, somit muss 0R. Lösungen der quadratischen Gleichung: $2\pm 3i$

3. $2+3i$
4. $2-3i$

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Success

$\sqrt{i}$ berechnen: $z^2=i$

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→ 05 Winkelfunktionen