07 Reihen

• eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge
• darf NICHT umgeordnet werden

eine Reihe konvergiert, wenn die Folge der Teilsummen konvergiert:

• Teilsummen: Summe der ersten $n$ Glieder der Reihe ($s_1=a_1,s_2=a_1+a_2,\dots$)
• $s_1,s_2,s_3,\dots$ bilden eine neue Folge

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Reihe konvergiert $⟹$ Grenzwert der Summanden ist 0. Grenzwert der Summanden ist nicht 0 $⟹$ Reihe divergiert

ACHTUNG auf Implikationsrichtung. z.B. ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ divergiert, ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ konvergiert

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• Folge monoton & beschränkt $⟹$ konvergiert
• Jede konvergente Folge ist beschränkt

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Info

• Wenn $a_n\ge 0$ für alle n (nur nicht-negative Glieder): Die Folge der Teilsummen $s_1,s_2,s_3,\dots$, $s_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k$ ist monoton wachsend.

Rechenregeln

$$\sum _{n=0}^{\infty }C\cdot a_n=C\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(C\in \mathbb{R})$$ $$\sum _{n=0}^{\infty }(a_n+b_n)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n+\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n$$

Das Konvergenzverhalten ändert sich nicht durch Weglassen endlicher Glieder. Somit gilt ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n\text{ konvergent}⟺{\sum }_{n=N}^{\infty }{a}_n\text{ konvergent}$, also:

$$\underset{\text{Gesamt}}{\underbrace{\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n}}=\underset{\text{Endlicher Anfang}}{\underbrace{\sum _{n=0}^{N-1}{a}_n}}+\underset{\text{Unendlicher Rest}}{\underbrace{\sum _{n=N}^{\infty }{a}_n}}$$

Beispiele

Beispiel

Konvergiert für $s>1$ und divergiert für $s\le 1$:

${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^s}={\sum }_{k=1}^{\infty }{k}^{-s}$

Beispiel

• Reihe: $a{\sum }_{n=0}^{\infty }{q}^n$
• Partialsumme: $s_n=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^{n-1}=a\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$
• Falls $|q|<1$, konvergiert: $s={\lim }_{n\to \infty }{s}_n=a{\sum }_{n=0}^{\infty }{q}^n=a\frac{1}{1-q}$

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Vergleichskriterium

vgl. ähnlich wie Sandwich-Theorem

• Reihe ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$, alle Glieder $\ge 0$
• 2 Vergleichsreihen mit $c_n\le b_n\le a_n$

Majorantenkriterium “größere” Reihe ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ konvergiert (nimmt endlichen Wert an) $⟹$ “kleinere” Reihe ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$ konvergiert

Minorantenkriterium “kleinere” Reihe ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n$ divergiert (wächst gegen unendlich) $⟹$ “größere” Reihe ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n$ divergiert

Absolute und Bedingte Konvergenz

Riemannscher Umordnungssatz