06 Folgen

Darstellung einer Folge

Konvergenz und Divergenz

• konvergent: Folge strebt gegen konkreten, endlichen reellen Wert
• Wenn nicht konvergent, dann divergent. z.B. $a_n=(-1{)}^n$ ist divergent.
• Differenz konvergenter Folgen konvergiert
• Gegenbeispiel für: Setze $a_n=(-1{)}^n$ und $b_n=-(-1{)}^n$. Dann ist $c_n=0$ für alle $n$, also ${\lim }_{n\to \infty }{c}_n=0$. Aber weder $(a_n)$ noch $(b_n)$ konvergiert.
• Falls $(a_n)$ konvergiert, ist die Folge $b_n=a_{n+1}+a_n$ konvergent. ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n={\lim }_{n\to \infty }(a_{n+1}+a_n)={\lim }_{n\to \infty }{a}_{n+1}+{\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L+L=2L$

Grenzwert

Grenzwert L $\forall \epsilon >0\exists N\in {\mathbb{N}}_0\forall n\ge N:|a_n-L|<\epsilon$ → alternativ: die Menge der Elemente NICHT in Nähe des Grenzwertes ist endlich

z.B. $b(n)=n^{-p}$ konvergiert für $p>0$, divergiert für $p<0$.

Beweis, Grenzwert ist unique

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Teilfolgen

Können Konvergenz auf bestimmten Teilfolgen beobachten. z.B. nur jedes dritte Folgeglied.

Haben wir eine konvergente Folge mit Grenzwert L, dann konvergiert auch jede Teilfolge zum gleichen Grenzwert L.

Können zeigen, dass gesamte Folge nicht konvergiert (divergent ist), indem wir 2 Teilfolgen finden, die unterschiedliche Grenzwerte haben.

Häufungspunkt

Sei $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Folge in $\mathbb{R}$. Häufungspunkt A:

$\forall \epsilon >0\forall N\in {\mathbb{N}}_0\exists n\ge N:|a_n-A|<\epsilon$

Es gibt unendlich viele Punkte die beliebig Nahe an den Häufunspunkt kommen.

Beispiel

Die Folge $a_n=(-1{)}^n$ hat die Häufungspunkte $1$ und $-1$, aber keinen Grenzwert, weil sie immer zwischen beiden hin- und herspringt.

Example

Jede konvergente Folge in $\mathbb{R}$ hat genau einen Häufungspunkt (den Grenzwert der Folge).

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Graphische Darstellung

1. auf einem Zahlenstrahl
2. als Punkte in der Ebene

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Beweis für iii)

1. Stelle Formel $\forall \epsilon >0\exists N\in {\mathbb{N}}_0\forall n\ge N:|a_n-L|<\epsilon$ für $a$ und $b$ auf
2. Stelle Gleichung auf $|(a_n+b_n)-(K+L)|=|(a_n-K)+(b_n-L)|$
3. Mit Dreiecksungleichung $|(a_n-K)+(b_n-L)|\le |a_n-K|+|b_n-b|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}$
4. Die Definition $\forall \epsilon >0\exists N\in {\mathbb{N}}_0\forall n\ge N:|a_n-L|<\epsilon$ gilt auch für $\frac{ϵ}{2}$.
5. $\forall n\ge N:|(a_n+b_n)-(K+L)|<ϵ$, wobei $N=max(K,L)$

Grenzwerte

1. Kann ich den schnellsten Term ausklammern oder dividieren?
2. Wurzeltrick: Bei Addition/Subtraktion von Wurzeln, Formel mit konjugierter Form erweitern (Bruch, im Prinzip $\cdot 1$), vereinfachen
3. Sandwich Theorem
4. Abschätzungen, Euler: Ähnlichkeit zu Folge e oder bekannter Folge aus den Regeln

Grenzwerte Regeln

• ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\log n}{n}=0={\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln n}{n}$
• ${\lim }_{n\to \infty }{n}^{\frac{1}{n}}=1$
• ${\lim }_{n\to \infty }{x}^{1/n}=1,x>0$
• $\forall x\in \mathbb{R}:{\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n=e^x$
• $\forall x\in \mathbb{R}:{\lim }_{n\to \infty }\frac{x^n}{n!}=0$
• ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$
• ${\lim }_{x\to \infty }1+\frac{1}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to \infty }{e}^x=\infty$
• ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x=0$
• ${\lim }_{x\to \infty }{e}^{-x}=0$
• ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^{-x}=\infty$
• ${\lim }_{x\to \infty }\frac{e^x}{x^m}=\infty$
• ${\lim }_{x\to -\infty }x{e}^x=0$
• ${\lim }_{x\to \infty }\ln (x)=\infty$
• ${\lim }_{x\to 0}\ln (x)=-\infty$
• ${\lim }_{x\to \infty }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$
• ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^b=1$
• ${\lim }_{x\to \infty }{x}^a{q}^x=0,\forall 0\le q<1$
• ${\lim }_{x\to \pm \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$
• ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^x=\frac{1}{e}$
• ${\lim }_{x\to \pm \infty }{\left(1+\frac{k}{x}\right)}^{mx}=e^{km}$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{\cos (x)}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x}=0$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\log (1-x)}{x}=-1$
• ${\lim }_{x\to 0}x\log x=0$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{x}{\arctan x}=1$
• ${\lim }_{x\to \infty }\arctan x=\frac{\pi }{2}$
• ${\lim }_{x\to \infty }{\left(\frac{x}{x+k}\right)}^x=e^{-k}$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln (a)\forall a>0$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{ax}-1}{x}=a$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (x+1)}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 1}\frac{\ln (x)}{x-1}=1$
• ${\lim }_{x\to \infty }\frac{\ln (x)}{x}=0$
• ${\lim }_{x\to \infty }\frac{\log (x)}{x^a}=0$
• ${\lim }_{x\to \infty }\sqrt[x]{x}=1$
• ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x}{2^x}=0$
• ${\lim }_{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}\tan x=+\infty$
• ${\lim }_{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}\tan x=-\infty$
• ${\lim }_{x\to \infty }\frac{\sin x}{x}=0$
• ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$

${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{x}=1$ für beliebige $x,y$, auch z.B. bei ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}=1$

Schnellsten Term ausklammern

Beispiel:

$e_n=\sqrt[n]{5^n+11^n+17^n}$

Wir klammern $17^n$ aus

$e_n=\sqrt[n]{17^n\left({\left(\frac{5}{17}\right)}^n+{\left(\frac{11}{17}\right)}^n+1\right)}=17\cdot \sqrt[n]{{\left(\frac{5}{17}\right)}^n+{\left(\frac{11}{17}\right)}^n+1}$ $\frac{5}{17}<1$ und $\frac{11}{17}<1$, konvergieren also gegen 0. Also $\sqrt[n]{1}\le \sqrt[n]{{\left(\frac{5}{17}\right)}^n+{\left(\frac{11}{17}\right)}^n+1}\le \sqrt[n]{3}$ Da $\sqrt[n]{3}\to 1$, per Sandwich Theorem, ${\lim }_{n\to \infty }{e}_n=17\cdot 1=\boxed{17}$.

Wurzeltrick

Bei Addition/Subtraktion von Wurzeln, Formel mit konjugierter Form erweitern (Bruch, im Prinzip $\cdot 1$), vereinfachen

Beispiel:

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})& =\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\cancel{\sqrt{n}}\cdot \sqrt{n}}{\cancel{\sqrt{n}}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}}{2}\\ & =\infty \end{array}$$

Sandwich Theorem

Upper and lower bound finden, z.B. indem man Teil-Terme dropped

Beispiel:

${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{2n^2+5n}$

1. Abschätzungen $\sqrt[n]{2n^2}\le {\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{2n^2+5n}\le \sqrt[n]{2n^2+5n^2}=\sqrt[n]{7n^2}$

2. ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{2n^2}={\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}\cdot \sqrt[n]{n}\cdot \sqrt[n]{n}=1\cdot 1\cdot 1=1$

3. ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{7n^2}=1$

Abschätzungen, Euler

Allgemein

${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$ ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{k}{n}\right)}^{m\cdot n}=e^{k\cdot m}$

\lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{1}{2n} \right)^n & = \lim_{ n \to \infty } \left( \left( 1+\frac{1}{2n} \right)^{2n} \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = \left( \lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{1}{2n} \right)^{2n} \right)^{\frac{1}{n}} \\ & = (e)^{\frac{1}{2}} \\ & = \sqrt{ e } \end{align}$$ --- ## Beschränkungen - Eine Folge die nach oben und unten beschränkt ist, ist beschränkt. z.B. $(-1)^n$ - **monoton** fallend/wachsend: **strikte** Abnahme/Zunahme - **streng monoton** fallend/wachsend: Abnahme/Zunahme oder gleich > Immer wenn es einen **Limes Superior (Inferior) gibt**, gibt es auch eine **obere (untere) Schranke** > [!Note] Lemmas > > - Jede konvergente Folge ist beschränkt. > - **==Jede beschränkte und monotone Folge konvergiert.==** > Eine monotone Folge konvergiert $\iff$ beschränkt > - beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungspunkt **und konvergente Teilfolge** (Bolzano-Weierstrass) > - konvergierend, monoton, beschränkt: vgl. Grenzwert mit [[01 Logik, Mengen, Zahlen#intervalle|sup/inf von Intervallen]] ![[Pasted image 20260317201505.png]] ### Konvergenz zeigen durch beschränkt und monoton, bei rekursiv definierter Folge ![[Bildschirmfoto 2026-03-17 um 19.35.20.png]] --- ## Limes Superior, Inferior - beschreiben das Verhalten der oberen/unteren Schranke - Jede beschränkte Folge hat lim sup und inf, auch, wenn keinen normalen Limes - Folge konvergiert $\implies \limsup = \liminf$ - $(\limsup = \liminf \implies) ∧ \text{beschränkt} \implies$ Folge konvergiert - $\limsup \neq \liminf \implies$ Folge divergent - `lim sup = lim inf`: gibt normalen limes, Folge **konvergent** - Nutzen, um Konvergenz zu zeigen - Der Limes superior (inferior) ist der **grösste (kleinste) Häufungspunkt** - Superior: $\lim_{n \to \infty} \sup \{ a_k \mid k \ge n \}$ - Inferior: $\lim_{n \to \infty} \inf \{ a_k \mid k \ge n \}$ **Wie beweisen?** - [[#sandwich-theorem|Sandwich Theorem]], oder - Der lim einer konvergenten Folge (falls existent) ist auch ein Häufungspunkt. **Folge in Teilfolgen unterteilen**, z.B. gerade/ungerage, die ==alle== Stellen abdecken, dann **limes dieser Teilfolgen vergleichen**. Es kann keinen anderen Häufungspunkt geben, da diese Teillfolgen alles abdecken. Der Grenzwert einer Teilfolge ist der Häufungspunkt. Gilt auch als Beweis ![[Bildschirmfoto 2026-03-17 um 17.04.09.png]] ![[Bildschirmfoto 2026-03-17 um 20.15.53.png]] --- ## Cauchy-Folge - konvergiert $\iff$ ist Cauchy-Folge - Folge ist beschränkt - lim sup = lim inf $\implies$ ist Cauchy Folge - der Abstand von zwei beliebigen Punkten ist $< \epsilon$ .

\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m, n \geq N \quad |a_n - a_m| < \varepsilon

- Konvergenz zeigen, wenn Grenzwert unbekannt, indem wir zeigen, dass eine Folge eine Cauchy-Folge ist - $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}, n\geq_{1}$ ist eine Cauchy Folge, konvergiert - $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ ist keine Cauchy Folge, divergiert ### Konvergenz zeigen durch Cauchy-Folge - Beispiel, Beweis: $\frac{1}{n}$ konvergiert ![[Bildschirmfoto 2026-03-14 um 15.54.01.png]] ---